70. 爬楼梯

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题目

You are climbing a staircase. It takes n steps to reach the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Example 1:

Input: n = 2

Output: 2

Explanation: There are two ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step

2. 2 steps

Example 2:

Input: n = 3

Output: 3

Explanation: There are three ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step + 1 step

2. 1 step + 2 steps

3. 2 steps + 1 step

Constraints:

• 1 <= n <= 45

题目大意

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是一个正整数

解题思路

这是一个经典的动态规划问题，通常被称为「爬楼梯问题」。

假设你要爬上第 n 阶楼梯，你可以从第 n-1 阶爬一步上来，也可以从第 n-2 阶爬两步上来，因此到达第 n 阶楼梯的方法数等于到达第 n-1 阶和第 n-2 阶的方法数之和。

可以得到以下的递推关系：

dp(n) = dp(n - 1) + dp(n - 2)

其中，dp(n) 表示到达第 n 阶楼梯的方法数。

接下来，需要初始化边界条件。当 n = 1 时，只有一种方法爬到楼顶；当 n = 2 时，有两种方法爬到楼顶（一步一步或直接两步）。因此，可以初始化 dp(1) = 1 和 dp(2) = 2。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是到达楼顶的台阶数量。虽然使用了递归，但通过使用哈希表 map 存储已经计算过的结果，确保每个状态只计算一次。因此，最多会计算 n 次，整体时间复杂度为 O(n)。
• 空间复杂度：O(n)，主要的空间消耗来自于哈希表 map，其存储了从 1 到 n 的所有计算结果。此外，递归调用栈的深度也可能达到 O(n)，但主要的空间复杂度来源于 map。因此，整体空间复杂度为 O(n)。

代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function (n) {
	let map = new Map();
	const helper = (n) => {
		if (n <= 2) return n;
		if (!map.has(n)) {
			map.set(n, helper(n - 1) + helper(n - 2));
		}
		return map.get(n);
	};
	return helper(n);
};

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