4. 寻找两个正序数组的中位数
4. 寻找两个正序数组的中位数
题目
Given two sorted arrays nums1
and nums2
of size m
and n
respectively, return the median of the two sorted arrays.
The overall run time complexity should be O(log (m+n))
.
Example 1:
Input: nums1 = [1,3], nums2 = [2]
Output: 2.00000
Explanation: merged array = [1,2,3] and median is 2.
Example 2:
Input: nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
Output: 2.50000
Explanation: merged array = [1,2,3,4] and median is (2 + 3) / 2 = 2.5.
Constraints:
nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-10^6 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^6
题目大意
给定两个大小为 m
和 n
的有序数组 nums1
和 nums2
。
请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))
。
你可以假设 nums1
和 nums2
不会同时为空。
解题思路
这一题最容易想到的办法是把两个数组合并,然后取出中位数。但是合并有序数组的操作时间复杂度是 O(m+n)
,不符合题意。
由于题目要求的时间复杂度为 O(log(m + n))
,这表明我们需要使用 二分查找。
可以将问题转化为 在两个排序数组中寻找第 k 小的数,其中 k 是 (m + n) / 2
或 (m + n) / 2 + 1
,使用二分法来解决。
- 给定两个排序数组
nums1
和nums2
,需要找到第k
小的数。 - 使用二分法来缩小查找范围:
- 取两个数组中第
k / 2
个数,比较这两个数的大小。 - 较小的那个数组的前
k / 2
个数不可能包含第 k 小的数,所以可以将这些数排除,并在剩余的部分继续查找。
- 取两个数组中第
特殊情况处理:
- 如果某一个数组为空,则直接返回另一个数组的中间值。
- 如果 k == 1,则返回两个数组的最小值。
- 总长度为偶数时,需要同时找到第
(m + n) / 2
和第(m + n) / 2 + 1
小的数,并取它们的平均值作为中位数。
复杂度分析
- 时间复杂度:
O(log(min(m, n)))
,因为每次递归我们会排除掉k/2
个元素,直到找到第k
小的元素,整个过程是对较短数组长度的二分查找。 - 空间复杂度:
O(1)
,只使用了常数级别的额外空间。
代码
/**
* @param {number[]} nums1
* @param {number[]} nums2
* @return {number}
*/
var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
const findKth = (arr1, start1, arr2, start2, k) => {
// 如果数组 1 已经全部被排除,则返回数组 2 中的第 k 小元素
if (start1 >= arr1.length) {
return arr2[start2 + k - 1];
}
// 如果数组 2 已经全部被排除,则返回数组 1 中的第 k 小元素
if (start2 >= arr2.length) {
return arr1[start1 + k - 1];
}
// 如果 k == 1,返回两个数组中最小的元素
if (k == 1) {
return Math.min(arr1[start1], arr2[start2]);
}
// 在两个数组中分别找出第 k/2 个元素
let harfK = (k / 2) | 0,
index1 = start1 + harfK - 1,
index2 = start2 + harfK - 1,
mid1 = index1 < arr1.length ? arr1[index1] : Infinity,
mid2 = index2 < arr2.length ? arr2[index2] : Infinity;
// 如果数组 1 的中间值较小,排除数组 1 中的前 k/2 个元素
if (mid1 < mid2) {
return findKth(arr1, start1 + harfK, arr2, start2, k - harfK);
} else {
// 否则排除数组 2 中的前 k/2 个元素
return findKth(arr1, start1, arr2, start2 + harfK, k - harfK);
}
};
const len = nums1.length + nums2.length;
// 如果总长度为奇数,返回中间的那个数
if (len % 2 == 1) {
return findKth(nums1, 0, nums2, 0, ((len / 2) | 0) + 1);
} else {
// 如果总长度为偶数,返回中间两个数的平均值
const left = findKth(nums1, 0, nums2, 0, len / 2);
const right = findKth(nums1, 0, nums2, 0, len / 2 + 1);
return (left + right) / 2;
}
};
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