509. 斐波那契数

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题目

The Fibonacci numbers , commonly denoted F(n) form a sequence, called the Fibonacci sequence , such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. That is,

F(0) = 0, F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), for n > 1.

Given n, calculate F(n).

Example 1:

Input: n = 2

Output: 1

Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.

Example 2:

Input: n = 3

Output: 2

Explanation: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.

Example 3:

Input: n = 4

Output: 3

Explanation: F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

Constraints:

• 0 <= n <= 30

题目大意

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

给定 N，计算 F(N)。

提示：0 ≤ N ≤ 30

解题思路

这一题解法很多，大的分类是四种：

• 递归
• 记忆化搜索(dp)
• 矩阵快速幂
• 通项公式

其中记忆化搜索可以写 3 种方法：

• 自底向上的
• 自顶向下的
• 优化空间复杂度版的

代码

暴力递归法

// 解法一 暴力递归法 时间复杂度 O(2^n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
	if (n <= 1) {
		return n;
	}
	return fib(n - 1) + fib(n - 2);
};

自底向上的记忆化搜索

// 解法二 自底向上的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
	if (n <= 1) {
		return n;
	}
	const arr = [0, 1];
	for (let i = 2; i <= n; i++) {
		arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
	}
	return arr[n];
};

自顶向下的记忆化搜索

// 解法三 自顶向下的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
	let map = new Map();
	const helper = (n) => {
		if (n < 2) return n;
		if (!map.has(n)) {
			map.set(n, helper(n - 1) + helper(n - 2));
		}
		return map.get(n);
	};
	return helper(n);
};

滚动数组优化版的 dp

// 解法四 滚动数组优化版的 dp，节约内存空间 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
var fib = function (n) {
	if (n <= 1) return n;
	let result = 0;
	let prev1 = 0;
	let prev2 = 1;
	for (let i = 2; i <= n; i++) {
		result = prev1 + prev2;
		prev1 = prev2;
		prev2 = result;
	}
	return result;
};

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