516. 最长回文子序列
516. 最长回文子序列
题目
Given a string s
, find the longest palindromic subsequence 's length in s
.
A subsequence is a sequence that can be derived from another sequence by deleting some or no elements without changing the order of the remaining elements.
Example 1:
Input: s = "bbbab"
Output: 4
Explanation: One possible longest palindromic subsequence is "bbbb".
Example 2:
Input: s = "cbbd"
Output: 2
Explanation: One possible longest palindromic subsequence is "bb".
Constraints:
1 <= s.length <= 1000
s
consists only of lowercase English letters.
题目大意
给你一个字符串 s
,找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。
子序列定义为:不改变剩余字符顺序的情况下,删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
s
仅由小写英文字母组成。
解题思路
这个问题可以使用动态规划来解决。们定义一个二维数组 dp
,其中 dp[i][j]
表示字符串 s
在区间 [i, j]
内的最长回文子序列的长度。使用动态规划的方法来填充这个二维数组。
初始化动态规划数组: 对角线上的元素
dp[i][i]
均为1
,因为任何一个单个字符都是回文子序列。状态转移:
- 当
s[i] === s[j]
时,表示两个字符相同,可以将两个字符加入到已经找到的回文子序列中,因此dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
。 - 当
s[i] !== s[j]
时,表示两个字符不同,我们需要考虑去掉其中一个字符,然后取另一个区间的最长回文子序列,即dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
。
- 当
遍历顺序: 由于状态转移方程需要依赖区间
[i+1, j-1], [i+1, j], [i, j-1]
的结果,因此我们需要按照区间长度从小到大的顺序遍历区间,即先遍历较短的区间,再根据较短区间的结果计算较长区间的结果。返回结果: 最终结果存储在
dp[0][n-1]
中,即整个字符串的最长回文子序列长度。
复杂度分析
- 时间复杂度:
O(n^2)
,其中 n 是字符串的长度,动态规划数组的大小为 n^2。 - 空间复杂度:
O(n^2)
,使用了一个二维动态规划数组。
代码
/**
* @param {string} s
* @return {number}
*/
var longestPalindromeSubseq = function (s) {
const n = s.length;
let dp = new Array(n).fill(0).map((i) => new Array(n).fill(0));
// 初始化动态规划数组
for (let i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = 1;
}
// 遍历区间长度
for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
for (let j = i + 1; j < n; j++) {
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[0][n - 1];
};
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