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3.9 二分查找


3.9 二分查找

二分查找(Binary Search)算法,也叫折半查找算法。二分查找针对的是一个有序的数据集合,查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间被缩小为 0。

二分查找是一种非常高效的查找算法,时间复杂度是 O(log n)

循环实现

最简单的情况就是有序数组不存在重复元素,我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

// 二分查找的循环实现
function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;

	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] == value) {
			return mid;
		} else if (arr[mid] < value) {
			low = mid + 1;
		} else {
			high = mid - 1;
		}
	}

	return -1;
}

这里有三个注意事项

1. 循环退出条件

注意是low <= high,而不是low < high

2. mid 的取值

实际上,mid=(low+high)/2这种写法是有问题的。因为如果lowhigh比较大的话,两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将mid的计算方式写成low+(high-low)/2。更进一步,如果要将性能优化到极致的话,我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。

3. low 和 high 的更新

low=mid+1high=mid-1。注意这里的+1-1,如果直接写成low=mid或者high=mid,就可能会发生死循环。比如,当high=3,low=3时,如果a[3]不等于value,就会导致一直循环不退出。

递归实现

// 二分查找的递归实现
function bsearch(arr, value) {
	return bsearchInternally(arr, 0, arr.length - 1, value);
}

function bsearchInternally(arr, low, high, value) {
	if (low > high) return -1;

	let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
	if (arr[mid] == value) {
		return mid;
	} else if (arr[mid] < value) {
		return bsearchInternally(arr, mid + 1, high, value);
	} else {
		return bsearchInternally(arr, low, mid - 1, value);
	}
}

应用场景的局限性

二分查找的时间复杂度是 O(log n),查找数据的效率非常高。不过,并不是什么情况下都可以用二分查找,它的应用场景是有很大局限性的。

依赖顺序表结构(数组)

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果数据是通过其他数据结构存储的,则无法应用二分查找。

主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1),而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以,如果数据使用链表存储,二分查找的时间复杂就会变得很高。

数据必须有序

二分查找要求数据必须是有序的。如果数据没有序需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以,如果针对的是一组静态的数据,没有频繁地插入、删除,我们可以进行一次排序,多次二分查找。这样排序的成本可被均摊,二分查找的边际成本就会比较低。

但是,如果数据集合有频繁的插入和删除操作,要想用二分查找,要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序,要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合,无论哪种方法,维护有序的成本都是很高的。

所以,二分查找只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合,二分查找将不再适用。那针对动态数据集合,如何在其中快速查找某个数据呢?别急,等到二叉树那一节我会详细讲。

数据量太小不适合

如果要处理的数据量很小,完全没有必要用二分查找,顺序遍历就足够了。比如在一个大小为 10 的数组中查找一个元素,不管用二分查找还是顺序遍历,查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候,二分查找的优势才会比较明显。

不过,这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时,不管数据量大小,都推荐使用二分查找。比如,数组中存储的都是长度超过 300 的字符串,如此长的两个字符串之间比对大小,就会非常耗时。需要尽可能地减少比较次数,而比较次数的减少会大大提高性能,这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

数据量太大也不适合

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构,而数组为了支持随机访问的特性,要求内存空间连续,对内存的要求比较苛刻。比如,有 1GB 大小的数据,如果希望用数组来存储,那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字,也就是说,即便有 2GB 的内存空间剩余,但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的,没有连续的 1GB 大小的内存空间,那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而二分查找是作用在数组这种数据结构之上的,所以太大的数据用数组存储就比较吃力了,也就不能用二分查找了。

二分查找的变种写法

变种一:查找第一个值等于给定值的元素

如果mid等于 0,那这个元素已经是数组的第一个元素,那它肯定是我们要找的;如果mid不等于 0,但arr[mid]的前一个元素arr[mid-1]不等于value,那也说明arr[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] > value) {
			low = mid + 1;
		} else if (arr[mid] < value) {
			high = mid - 1;
		} else {
			if (mid === 0 || arr[mid - 1] != value) {
				return mid;
			}
			high = mid - 1;
		}
	}
	return -1;
}

变种二:查找最后一个值等于给定值的元素

如果arr[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了,那它肯定是我们要找的;如果arr[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value,那也说明arr[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] > value) {
			low = mid + 1;
		} else if (arr[mid] < value) {
			high = mid - 1;
		} else {
			if (mid === arr.length - 1 || arr[mid + 1] != value) {
				return mid;
			}
			low = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}

变种三:查找第一个大于等于给定值的元素

如果arr[mid]小于要查找的值value,那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间,所以,我们更新low=mid+1

对于arr[mid]大于等于给定值value的情况,我们要先看下这个arr[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果arr[mid]前面已经没有元素,或者前面一个元素小于要查找的值value,那arr[mid]就是我们要找的元素。

如果arr[mid - 1]也大于等于要查找的值value,那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间,所以,我们将high更新为mid-1

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] < value) {
			low = mid + 1;
		} else {
			if (mid === 0 || arr[mid - 1] < value) {
				return mid;
			}
			high = mid - 1;
		}
	}
	return -1;
}

变种四:查找最后一个小于等于给定值的元素

对于arr[mid]小于等于给定值value的情况,我们要先看下这个arr[mid]是不是我们要找的最后一个值小于等于给定值的元素。

如果arr[mid]后面已经没有元素,或者后面一个元素大于要查找的值value,那arr[mid]就是我们要找的元素。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] > value) {
			high = mid - 1;
		} else {
			if (mid === arr.length - 1 || arr[mid + 1] > value) {
				return mid;
			}
			low = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}

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