3.9 二分查找

二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

二分查找是一种非常高效的查找算法，时间复杂度是 O(log n)。

循环实现

最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。

// 二分查找的循环实现
function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;

	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] == value) {
			return mid;
		} else if (arr[mid] < value) {
			low = mid + 1;
		} else {
			high = mid - 1;
		}
	}

	return -1;
}

这里有三个注意事项：

1. 循环退出条件

注意是low <= high，而不是low < high。

2. mid 的取值

实际上，mid=(low+high)/2这种写法是有问题的。因为如果low和high比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将mid的计算方式写成low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3. low 和 high 的更新

low=mid+1，high=mid-1。注意这里的+1和-1，如果直接写成low=mid或者high=mid，就可能会发生死循环。比如，当high=3，low=3时，如果a[3]不等于value，就会导致一直循环不退出。

递归实现

// 二分查找的递归实现
function bsearch(arr, value) {
	return bsearchInternally(arr, 0, arr.length - 1, value);
}

function bsearchInternally(arr, low, high, value) {
	if (low > high) return -1;

	let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
	if (arr[mid] == value) {
		return mid;
	} else if (arr[mid] < value) {
		return bsearchInternally(arr, mid + 1, high, value);
	} else {
		return bsearchInternally(arr, low, mid - 1, value);
	}
}

应用场景的局限性

二分查找的时间复杂度是 O(log n)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。

依赖顺序表结构（数组）

二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

数据必须有序

二分查找要求数据必须是有序的。如果数据没有序需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。

但是，如果数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？别急，等到二叉树那一节我会详细讲。

数据量太小不适合

如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。

不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

数据量太大也不适合

二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。

注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

二分查找的变种写法

变种一：查找第一个值等于给定值的元素

如果mid等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果mid不等于 0，但arr[mid]的前一个元素arr[mid-1]不等于value，那也说明arr[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] > value) {
			low = mid + 1;
		} else if (arr[mid] < value) {
			high = mid - 1;
		} else {
			if (mid === 0 || arr[mid - 1] != value) {
				return mid;
			}
			high = mid - 1;
		}
	}
	return -1;
}

变种二：查找最后一个值等于给定值的元素

如果arr[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果arr[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value，那也说明arr[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] > value) {
			low = mid + 1;
		} else if (arr[mid] < value) {
			high = mid - 1;
		} else {
			if (mid === arr.length - 1 || arr[mid + 1] != value) {
				return mid;
			}
			low = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}

变种三：查找第一个大于等于给定值的元素

如果arr[mid]小于要查找的值value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新low=mid+1。

对于arr[mid]大于等于给定值value的情况，我们要先看下这个arr[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果arr[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值value，那arr[mid]就是我们要找的元素。

如果arr[mid - 1]也大于等于要查找的值value，那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以，我们将high更新为mid-1。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] < value) {
			low = mid + 1;
		} else {
			if (mid === 0 || arr[mid - 1] < value) {
				return mid;
			}
			high = mid - 1;
		}
	}
	return -1;
}

变种四：查找最后一个小于等于给定值的元素

对于arr[mid]小于等于给定值value的情况，我们要先看下这个arr[mid]是不是我们要找的最后一个值小于等于给定值的元素。

如果arr[mid]后面已经没有元素，或者后面一个元素大于要查找的值value，那arr[mid]就是我们要找的元素。

function bsearch(arr, value) {
	let low = 0;
	let high = arr.length - 1;
	while (low <= high) {
		let mid = low + Math.floor((high - low) / 2);
		if (arr[mid] > value) {
			high = mid - 1;
		} else {
			if (mid === arr.length - 1 || arr[mid + 1] > value) {
				return mid;
			}
			low = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}

相关题目

二分下标

题号	标题	题解	标签	难度	力扣
704	二分查找	[✓]	数组 二分查找	🟢	🀄️ 🔗
374	猜数字大小	[✓]	二分查找 交互	🟢	🀄️ 🔗
35	搜索插入位置	[✓]	数组 二分查找	🟢	🀄️ 🔗
34	在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
167	两数之和 II - 输入有序数组	[✓]	数组 双指针 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
153	寻找旋转排序数组中的最小值	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
154	寻找旋转排序数组中的最小值 II	[✓]	数组 二分查找	🔴	🀄️ 🔗
33	搜索旋转排序数组	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
81	搜索旋转排序数组 II	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
278	第一个错误的版本	[✓]	二分查找 交互	🟢	🀄️ 🔗
162	寻找峰值	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
852	山脉数组的峰顶索引	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
1095	山脉数组中查找目标值		数组 二分查找 交互	🔴	🀄️ 🔗
744	寻找比目标字母大的最小字母	[✓]	数组 二分查找	🟢	🀄️ 🔗
4	寻找两个正序数组的中位数	[✓]	数组 二分查找 分治	🔴	🀄️ 🔗
74	搜索二维矩阵	[✓]	数组 二分查找 矩阵	🟠	🀄️ 🔗
240	搜索二维矩阵 II	[✓]	数组 二分查找 分治 1+	🟠	🀄️ 🔗

二分答案

题号	标题	题解	标签	难度	力扣
69	x 的平方根	[✓]	数学 二分查找	🟢	🀄️ 🔗
287	寻找重复数	[✓]	位运算 数组 双指针 1+	🟠	🀄️ 🔗
50	Pow(x, n)	[✓]	递归 数学	🟠	🀄️ 🔗
367	有效的完全平方数	[✓]	数学 二分查找	🟢	🀄️ 🔗
1300	转变数组后最接近目标值的数组和		数组 二分查找 排序	🟠	🀄️ 🔗
400	第 N 位数字	[✓]	数学 二分查找	🟠	🀄️ 🔗

复杂的二分查找问题

题号	标题	题解	标签	难度	力扣
875	爱吃香蕉的珂珂	[✓]	数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
410	分割数组的最大值		贪心 数组 二分查找 2+	🔴	🀄️ 🔗
209	长度最小的子数组	[✓]	数组 二分查找 前缀和 1+	🟠	🀄️ 🔗
658	找到 K 个最接近的元素	[✓]	数组 双指针 二分查找 3+	🟠	🀄️ 🔗
270	最接近的二叉搜索树值 🔒		树 深度优先搜索 二叉搜索树 2+	🟢	🀄️ 🔗
702	搜索长度未知的有序数组 🔒		数组 二分查找 交互	🟠	🀄️ 🔗
349	两个数组的交集	[✓]	数组 哈希表 双指针 2+	🟢	🀄️ 🔗
350	两个数组的交集 II	[✓]	数组 哈希表 双指针 2+	🟢	🀄️ 🔗
287	寻找重复数	[✓]	位运算 数组 双指针 1+	🟠	🀄️ 🔗
719	找出第 K 小的数对距离		数组 双指针 二分查找 1+	🔴	🀄️ 🔗
259	较小的三数之和 🔒	[✓]	数组 双指针 二分查找 1+	🟠	🀄️ 🔗
1011	在 D 天内送达包裹的能力		数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗
1482	制作 m 束花所需的最少天数		数组 二分查找	🟠	🀄️ 🔗