3.11 滑动窗口
3.11 滑动窗口
滑动窗口解题框架
滑动窗口算法技巧主要用来解决子数组问题,比如让你寻找符合某个条件的最长/最短子数组。
如果用暴力解的话,你需要嵌套 for
循环这样穷举所有子数组,时间复杂度是 O(n^2)
:
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
for (let j = i; j < nums.length; j++) {
// nums[i, j] 是一个子数组
}
}
滑动窗口算法技巧的思路也不难,就是维护一个窗口,不断滑动,然后更新答案,该算法的大致逻辑如下:
let left = 0, right = 0;
while (right < nums.size()) {
// 增大窗口
window.addLast(nums[right]);
right++;
while (window needs shrink) {
// 缩小窗口
window.removeFirst(nums[left]);
left++;
}
}
基于滑动窗口算法框架写出的代码,时间复杂度是 O(n)
,比嵌套 for
循环的暴力解法效率高。
为啥是
O(n)
?肯定有读者要问了,滑动窗口框架不也用了一个嵌套
while
循环?为啥复杂度是O(n)
呢?简单说,指针
left
,right
不会回退(它们的值只增不减),所以字符串/数组中的每个元素都只会进入窗口一次,然后被移出窗口一次,不会说有某些元素多次进入和离开窗口,所以算法的时间复杂度就和字符串/数组的长度成正比。反观嵌套
for
循环的暴力解法,那个j
会回退,所以某些元素会进入和离开窗口多次,所以时间复杂度就是O(n^2)
了。
下面我总结了一套滑动窗口算法的代码框架,以后遇到相关的问题,只需默写出来如下框架然后改三个地方就行,保证不会出 bug。
// 滑动窗口算法伪码框架
var slidingWindow = function(s) {
// 用合适的数据结构记录窗口中的数据,根据具体场景变通
// 比如说,我想记录窗口中元素出现的次数,就用 map
// 如果我想记录窗口中的元素和,就可以只用一个 int
var window = ...;
var left = 0, right = 0;
while (right < s.length) {
// c 是将移入窗口的字符
var c = s[right];
window.add(c);
// 增大窗口
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
...
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (window needs shrink) {
// d 是将移出窗口的字符
var d = s[left];
window.remove(d);
// 缩小窗口
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
...
}
}
};
下面我们就用四道 LeetCode 原题来实践一下这个框架。
最小覆盖子串
76. 最小覆盖子串 - LeetCode
📌💻 题目大意
给你一个字符串 s
、一个字符串 t
。返回 s
中涵盖 t
所有字符的最小子串。如果 s
中不存在涵盖 t
所有字符的子串,则返回空字符串 ""
。
- 对于
t
中重复字符,我们寻找的子字符串中该字符数量必须不少于t
中该字符数量。 - 如果
s
中存在这样的子串,我们保证它是唯一的答案。
示例 1:
输入:s = "ADOBECODEBANC", t = "ABC"
输出:"BANC"
解释:最小覆盖子串 "BANC" 包含来自字符串 t 的 'A'、'B' 和 'C'。
示例 2:
输入:s = "a", t = "a"
输出:"a"
解释:整个字符串 s 是最小覆盖子串。
示例 3:
输入: s = "a", t = "aa"
输出: ""
解释: t 中两个字符 'a' 均应包含在 s 的子串中,因此没有符合条件的子字符串,返回空字符串。
提示:
m == s.length
n == t.length
1 <= m, n <= 105
s
和t
由英文字母组成
进阶:你能设计一个在 o(m+n)
时间内解决此问题的算法吗?
#### 📌 [76. 最小覆盖子串 - LeetCode](https://leetcode.com/problems/minimum-window-substring/)
#### 💻 **题目大意**
给你一个字符串 `s` 、一个字符串 `t` 。返回 `s` 中涵盖 `t` 所有字符的最小子串。如果 `s` 中不存在涵盖 `t` 所有字符的子串,则返回空字符串 `""` 。
- 对于 `t` 中重复字符,我们寻找的子字符串中该字符数量必须不少于 `t` 中该字符数量。
- 如果 `s` 中存在这样的子串,我们保证它是唯一的答案。
**示例 1:**
> 输入:s = "ADOBECODEBANC", t = "ABC"
>
> 输出:"BANC"
>
> 解释:最小覆盖子串 "BANC" 包含来自字符串 t 的 'A'、'B' 和 'C'。
**示例 2:**
> 输入:s = "a", t = "a"
>
> 输出:"a"
>
> 解释:整个字符串 s 是最小覆盖子串。
**示例 3:**
> 输入: s = "a", t = "aa"
>
> 输出: ""
>
> 解释: t 中两个字符 'a' 均应包含在 s 的子串中,因此没有符合条件的子字符串,返回空字符串。
**提示:**
- `m == s.length`
- `n == t.length`
- `1 <= m, n <= 105`
- `s` 和 `t` 由英文字母组成
**进阶**:你能设计一个在 `o(m+n)` 时间内解决此问题的算法吗?
如果我们使用暴力解法,代码大概是这样的:
for (let i = 0; i < s.length(); i++) {
for (let j = i + 1; j < s.length(); j++) {
if (s[i:j] 包含 t 的所有字母) {
更新答案
}
}
}
思路很直接,但是显然,这个算法的复杂度大于 O(n^2)
了,不好。
滑动窗口算法的思路是这样:
- 使用双指针中的左右指针,初始化
left = right = 0
,把索引左闭右开区间[left, right)
称为一个「窗口」; - 不断地增加
right
指针扩大窗口[left, right)
,直到窗口中的字符串符合要求(包含了t
中的所有字符); - 停止增加
right
,转而不断增加left
指针缩小窗口[left, right)
,直到窗口中的字符串不再符合要求(不包含t
中的所有字符了);同时,每次增加left
,都要更新一轮结果; - 重复第 2 和第 3 步,直到
right
到达字符串s
的尽头;
第 2 步相当于在寻找一个「可行解」,第 3 步在优化这个「可行解」,最终找到最优解,也就是最短的覆盖子串。左右指针轮流前进,窗口大小增增减减,一伸一缩,不断向右滑动,这就是「滑动窗口」这个名字的来历。
现在我们来看看这个滑动窗口代码框架怎么用:
首先,初始化 window
和 need
两个哈希表,记录窗口中的字符和需要凑齐的字符:
// 记录 window 中的字符出现次数
let window = {};
// 记录所需的字符出现次数
let need = {};
for (let c of t) {
need[c] = (need[c] || 0) + 1;
}
然后,使用 left 和 right 变量初始化窗口的两端:
let left = 0,
right = 0,
valid = 0;
while (right < s.length) {
// c 是将移入窗口的字符
let c = s[right];
// 扩大窗口
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
...
}
其中 valid
变量表示窗口中满足 need
条件的字符个数,如果 valid
和 need.size
的大小相同,则说明窗口已满足条件,已经完全覆盖了串 t
。
现在开始套模板,只需要思考以下几个问题:
- 什么时候应该移动 right 扩大窗口?窗口加入字符时,应该更新哪些数据?
- 什么时候窗口应该暂停扩大,开始移动 left 缩小窗口?从窗口移出字符时,应该更新哪些数据?
- 我们要的结果应该在扩大窗口时还是缩小窗口时进行更新?
如果一个字符进入窗口,应该增加 window
计数器;如果一个字符将移出窗口的时候,应该减少 window
计数器;当 valid
满足 need
时应该收缩窗口;应该在收缩窗口的时候更新最终结果。
下面是完整代码:
var minWindow = function (s, t) {
let need = {},
window = {};
for (let c of t) {
need[c] = (need[c] || 0) + 1;
}
let left = 0,
right = 0,
valid = 0;
// 记录最小覆盖子串的起始索引及长度
let start = 0,
len = Infinity;
while (right < s.length) {
// c 是将移入窗口的字符
let c = s[right];
// 扩大窗口
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need[c]) {
window[c] = (window[c] || 0) + 1;
if (window[c] === need[c]) {
valid++;
}
}
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (valid === Object.keys(need).length) {
// 在这里更新最小覆盖子串
if (right - left < len) {
start = left;
len = right - left;
}
// d 是将移出窗口的字符
let d = s[left];
// 缩小窗口
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need[d]) {
if (window[d] === need[d]) {
valid--;
}
window[d]--;
}
}
}
// 返回最小覆盖子串
return len === Infinity ? '' : s.substring(start, start + len);
};
上面的代码中,当我们发现某个字符在 window
的数量满足了 need
的需要,就要更新 valid
,表示有一个字符已经满足要求。而且,两次对窗口内数据的更新操作是完全对称的。
当 valid == need.size()
时,说明 t
中所有字符已经被覆盖,已经得到一个可行的覆盖子串,现在应该开始收缩窗口了,以便得到「最小覆盖子串」。
移动 left
收缩窗口时,窗口内的字符都是可行解,所以应该在收缩窗口的阶段进行最小覆盖子串的更新,以便从可行解中找到长度最短的最终结果。
字符串排列
567. 字符串的排列 - LeetCode
📌💻 题目大意
给你两个字符串 s1
和 s2
,写一个函数来判断 s2
是否包含 s1
的排列。如果是,返回 true
;否则,返回 false
。
换句话说,s1
的排列之一是 s2
的 子串 。
示例 1:
输入:s1 = "ab" s2 = "eidbaooo"
输出:true
解释:s2 包含 s1 的排列之一 ("ba").
示例 2:
输入:s1= "ab" s2 = "eidboaoo"
输出:false
提示:
1 <= s1.length, s2.length <= 10^4
s1
和s2
仅包含小写字母
#### 📌 [567. 字符串的排列 - LeetCode](https://leetcode.com/problems/permutation-in-string/)
#### 💻 **题目大意**
给你两个字符串 `s1` 和 `s2` ,写一个函数来判断 `s2` 是否包含 `s1` 的排列。如果是,返回 `true` ;否则,返回 `false` 。
换句话说,`s1` 的排列之一是 `s2` 的 **子串** 。
**示例 1:**
> 输入:s1 = "ab" s2 = "eidbaooo"
>
> 输出:true
>
> 解释:s2 包含 s1 的排列之一 ("ba").
**示例 2:**
> 输入:s1= "ab" s2 = "eidboaoo"
>
> 输出:false
**提示:**
- `1 <= s1.length, s2.length <= 10^4`
- `s1` 和 `s2` 仅包含小写字母
这种题目,是明显的滑动窗口算法,相当于给你一个 s1
和一个 s2
,请问你 s2
中是否存在一个子串,包含 s1
中所有字符且不包含其他字符。
对于这道题的解法代码,基本上和最小覆盖子串一模一样,只需要改变几个地方:
1、本题移动 left
缩小窗口的时机是窗口大小大于 s1.length
时,因为排列的长度应该是一样的。
2、当发现 valid == need.size()
时,就说明窗口中就是一个合法的排列,所以立即返回 true
。
至于如何处理窗口的扩大和缩小,和最小覆盖子串完全相同,按照解题框架即可写出这道题的答案:
/**
* @param {string} s1
* @param {string} s2
* @return {boolean}
*/
var checkInclusion = function (s1, s2) {
let window = {},
need = {};
for (let i of s1) {
need[i] = (need[i] || 0) + 1;
}
let left = 0,
right = 0,
valid = 0;
while (right < s2.length) {
let c = s2[right];
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need[c]) {
window[c] = (window[c] || 0) + 1;
if (window[c] == need[c]) {
valid += 1;
}
}
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (right - left >= s1.length) {
// 在这里判断是否找到了合法的子串
if (valid == Object.keys(need).length) {
return true;
}
let d = s2[left];
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need[d]) {
if (window[d] == need[d]) {
valid--;
}
window[d]--;
}
}
}
// 未找到符合条件的子串
return false;
};
找所有字母异位词
438. 找到字符串中所有字母异位词 - LeetCode
📌💻 题目大意
给定两个字符串 s
和 p
,找到 s
中所有 p
的 异位词 的子串,返回这些子串的起始索引。不考虑答案输出的顺序。
异位词 指由相同字母重排列形成的字符串(包括相同的字符串)。
示例 1:
输入:s = "cbaebabacd", p = "abc"
输出:[0,6]
解释:起始索引等于 0 的子串是 "cba", 它是 "abc" 的异位词。
起始索引等于 6 的子串是 "bac", 它是 "abc" 的异位词。
示例 2:
输入:s = "abab", p = "ab"
输出:[0,1,2] 解释:起始索引等于 0 的子串是 "ab", 它是 "ab" 的异位词。
起始索引等于 1 的子串是 "ba", 它是 "ab" 的异位词。
起始索引等于 2 的子串是 "ab", 它是 "ab" 的异位词。
提示:
1 <= s.length, p.length <= 10^4
s
和p
仅包含小写字母
#### 📌 [438. 找到字符串中所有字母异位词 - LeetCode](https://leetcode.com/problems/find-all-anagrams-in-a-string/)
#### 💻 **题目大意**
给定两个字符串 `s` 和 `p`,找到 `s` 中所有 `p` 的 **异位词** 的子串,返回这些子串的起始索引。不考虑答案输出的顺序。
**异位词** 指由相同字母重排列形成的字符串(包括相同的字符串)。
**示例 1:**
> 输入:s = "cbaebabacd", p = "abc"
>
> 输出:[0,6]
>
> 解释:起始索引等于 0 的子串是 "cba", 它是 "abc" 的异位词。
>
> 起始索引等于 6 的子串是 "bac", 它是 "abc" 的异位词。
**示例 2:**
> 输入:s = "abab", p = "ab"
>
> 输出:[0,1,2]
> 解释:起始索引等于 0 的子串是 "ab", 它是 "ab" 的异位词。
>
> 起始索引等于 1 的子串是 "ba", 它是 "ab" 的异位词。
>
> 起始索引等于 2 的子串是 "ab", 它是 "ab" 的异位词。
**提示:**
- `1 <= s.length, p.length <= 10^4`
- `s` 和 `p` 仅包含小写字母
这道题的解法,基本上和上一题 字符串排列 一模一样,只需要改变返回值,找到一个合法异位词(排列)之后将起始索引加入 res
即可。
/**
* @param {string} s
* @param {string} p
* @return {number[]}
*/
var findAnagrams = function (s, p) {
let window = {},
need = {};
for (let i of p) {
need[i] = (need[i] || 0) + 1;
}
let left = 0,
right = 0,
valid = 0,
// 记录结果
res = [];
while (right < s.length) {
let c = s[right];
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need[c]) {
window[c] = (window[c] || 0) + 1;
if (window[c] == need[c]) {
valid++;
}
}
// 判断左侧窗口是否要收缩
if (right - left == p.length) {
// 当窗口符合条件时,把起始索引加入 res
if (valid == Object.keys(need).length) {
res.push(left);
}
let d = s[left];
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
if (need[d]) {
if (window[d] == need[d]) {
valid--;
}
window[d]--;
}
}
}
return res;
};
最长无重复子串
3. 无重复字符的最长子串 - LeetCode
📌💻 题目大意
给定一个字符串 s
,请你找出其中不含有重复字符的 最长子串 的长度。
子字符串 是字符串中连续的 非空 字符序列。
示例 1:
输入:s = "abcabcbb"
输出:3
解释:因为无重复字符的最长子串是 "abc",所以其长度为 3。
示例 2:
输入:s = "bbbbb"
输出:1
解释:因为无重复字符的最长子串是 "b",所以其长度为 1。
示例 3:
输入:s = "pwwkew"
输出:3
解释:因为无重复字符的最长子串是 "wke",所以其长度为 3。
请注意,你的答案必须是 子串 的长度,"pwke" 是一个子序列,不是子串。
提示:
0 <= s.length <= 5 * 10^4
s
由英文字母、数字、符号和空格组成
#### 📌 [3. 无重复字符的最长子串 - LeetCode](https://leetcode.com/problems/longest-substring-without-repeating-characters/)
#### 💻 **题目大意**
给定一个字符串 `s` ,请你找出其中不含有重复字符的 **最长子串** 的长度。
**子字符串** 是字符串中连续的 **非空** 字符序列。
**示例 1:**
> 输入:s = "abcabcbb"
>
> 输出:3
>
> 解释:因为无重复字符的最长子串是 "abc",所以其长度为 3。
**示例 2:**
> 输入:s = "bbbbb"
>
> 输出:1
>
> 解释:因为无重复字符的最长子串是 "b",所以其长度为 1。
**示例 3:**
> 输入:s = "pwwkew"
>
> 输出:3
>
> 解释:因为无重复字符的最长子串是 "wke",所以其长度为 3。
>
> 请注意,你的答案必须是 子串 的长度,"pwke" 是一个子序列,不是子串。
**提示:**
- `0 <= s.length <= 5 * 10^4`
- `s` 由英文字母、数字、符号和空格组成
这题变简单了,连 need
和 valid
都不需要,更新窗口内数据只需要简单的更新计数器 window
即可。
当 window[c]
值大于 1
时,说明窗口中存在重复字符,不符合条件,就该移动 left
缩小窗口了。
唯一需要注意的是,在哪里更新结果 res
呢?
这里和之前不一样,要在收缩窗口完成后更新 res,因为窗口收缩的 while
条件是存在重复元素,换句话说收缩完成后一定保证窗口中没有重复。
/**
* @param {string} s
* @return {number}
*/
var lengthOfLongestSubstring = function (s) {
let window = {},
left = 0,
right = 0,
// 记录结果
res = 0;
while (right < s.length) {
let c = s[right];
right++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
window[c] = (window[c] || 0) + 1;
// 判断左侧窗口是否要收缩
while (window[c] > 1) {
let d = s[left];
left++;
// 进行窗口内数据的一系列更新
window[d]--;
}
// 在这里更新答案
res = Math.max(res, right - left);
}
return res;
};
遇到子数组/子串相关的问题,只要能回答出来以下几个问题,就能运用滑动窗口算法:
- 什么时候应该扩大窗口?
- 什么时候应该缩小窗口?
- 什么时候应该更新答案?
好了,滑动窗口算法模板就讲到这里,希望你能理解其中的思想,记住算法模板并融会贯通。
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