209. 长度最小的子数组

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题目

Given an array of positive integers nums and a positive integer target, return the minimal length of a __subarray whose sum is greater than or equal to target. If there is no such subarray, return 0 instead.

Example 1:

Input: target = 7, nums = [2,3,1,2,4,3]

Output: 2

Explanation: The subarray [4,3] has the minimal length under the problem constraint.

Example 2:

Input: target = 4, nums = [1,4,4]

Output: 1

Example 3:

Input: target = 11, nums = [1,1,1,1,1,1,1,1]

Output: 0

Constraints:

• 1 <= target <= 10^9
• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= nums[i] <= 10^4

Follow up: If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution of which the time complexity is O(n log(n)).

题目大意

给定一个含有 n 个正整数的数组和一个正整数 target 。

找出该数组中满足其总和大于等于 target 的长度最小的 子数组 ，并返回其长度。如果不存在符合条件的子数组，返回 0 。

子数组是数组中连续的非空元素序列。

解题思路

思路一：滑动窗口

1. 初始化变量：使用两个指针（或滑动窗口）来遍历数组；
2. 扩大窗口：移动右指针，向右扩大求和；
3. 缩小窗口：一旦窗口总和大于等于 target，就移动左指针缩小窗口；
4. 更新最小长度：过程中更新最小长度；

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度；
• 空间复杂度：O(1)

---

思路二：暴力查找

1. 初始化子数组的最小长度为无穷大；
2. 枚举数组 nums 中的每个下标作为子数组的开始下标；
3. 对于每个开始下标 i，需要找到大于或等于 i 的最小下标 j，使得从 nums[i] 到 nums[j] 的元素和大于或等于 s；
4. 更新子数组的最小长度（此时子数组的长度是 j−i+1）；

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，需要遍历每个下标作为子数组的开始下标，对于每个开始下标，需要遍历其后面的下标；
• 空间复杂度：O(1)

---

思路三：二分查找

1. 暴力查找的时间复杂度是 O(n^2)，因为在确定每个子数组的开始下标后，找到长度最小的子数组需要 O(n) 的时间。如果使用二分查找，则可以将时间优化到 O(logn)。
2. 为了使用二分查找，需要额外创建一个数组 sums 用于存储数组 nums 的前缀和，其中 sums[i] 表示从 nums[0] 到 nums[i−1] 的元素和。
3. 得到前缀和之后，对于每个开始下标 i，可通过二分查找得到大于或等于 i 的最小下标 bound，使得 sums[bound]−sums[i−1]≥s，并更新子数组的最小长度（此时子数组的长度是 bound−(i−1)）。

因为这道题保证了数组中每个元素都为正，所以前缀和一定是递增的，这一点保证了二分的正确性。如果题目没有说明数组中每个元素都为正，这里就不能使用二分来查找这个位置了。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlogn)，遍历每个下标的时间复杂度是 O(n)，二分查找的时间复杂度是 O(logn)，因此总时间复杂度是 O(nlogn)。

• 空间复杂度：O(n)，额外创建数组 sums 存储前缀和。

代码

滑动窗口

/**
 * @param {number} target
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var minSubArrayLen = function (target, nums) {
	let left = 0,
		sum = 0,
		minLength = Infinity;
	for (let right = 0; right < nums.length; right++) {
		sum += nums[right];
		while (sum >= target) {
			minLength = Math.min(minLength, right - left + 1);
			sum -= nums[left];
			left++;
		}
	}
	return minLength == Infinity ? 0 : minLength;
};

暴力查找

/**
 * @param {number} target
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var minSubArrayLen = function (target, nums) {
	let n = nums.length,
		res = Infinity;
	if (n == 0) return 0;

	for (let i = 0; i < n; i++) {
		let sum = 0;
		for (let j = i; j < n; j++) {
			sum += nums[j];
			if (sum >= target) {
				res = Math.min(res, j - i + 1);
				break;
			}
		}
	}
	return res == Infinity ? 0 : res;
};

二分查找

/**
 * @param {number} target
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var minSubArrayLen = function (target, nums) {
	let n = nums.length,
		sum = [0],
		res = Infinity;
	for (let i = 1; i <= n; i++) {
		sum[i] = nums[i - 1] + sum[i - 1];
	}
	for (let i = 1; i <= n; i++) {
		let newTarget = target + sum[i - 1];
		let bound = binarySearch(sum, newTarget, i, n);
		if (bound != -1) {
			res = Math.min(res, bound - i + 1);
		}
	}
	return res == Infinity ? 0 : res;
};

var binarySearch = function (arr, target, l, r) {
	if (arr[r] < target) return -1;
	while (l < r) {
		let mid = (l + r) >> 1;
		if (arr[mid] < target) {
			l = mid + 1;
		} else {
			r = mid;
		}
	}
	return arr[l] >= target ? l : -1;
};

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