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236. 二叉树的最近公共祖先


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题目

Given a binary tree, find the lowest common ancestor (LCA) of two given nodes in the tree.

According to the definition of LCA on Wikipediaopen in new window: "The lowest common ancestor is defined between two nodes p and q as the lowest node in T that has both p and q as descendants (where we allow a node to be a descendant of itself )."

Example 1:

Input: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1

Output: 3

Explanation: The LCA of nodes 5 and 1 is 3.

Example 2:

Input: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4

Output: 5

Explanation: The LCA of nodes 5 and 4 is 5, since a node can be a descendant of itself according to the LCA definition.

Example 3:

Input: root = [1,2], p = 1, q = 2

Output: 1

Constraints:

  • The number of nodes in the tree is in the range [2, 10^5].
  • -10^9 <= Node.val <= 10^9
  • All Node.val are unique.
  • p != q
  • p and q will exist in the tree.

题目大意

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

维基百科中最近公共祖先的定义为:“对于有根树 T 的两个结点 p、q,最近公共祖先表示为一个结点 x,满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”

解题思路

这是一道经典的题目,寻找任意一个二叉树中两个结点的 LCA 最近公共祖先,考察递归。

从根节点开始,递归地向左子树和右子树搜索。递归的终止条件有几种情况:

  1. 如果当前节点为 null,表示遍历到空节点,直接返回 null
  2. 如果当前节点等于 pq,表示找到了其中一个节点,直接返回当前节点。

递归步骤如下:

  1. 递归地在左子树中寻找 pq 的最低共同祖先,结果存储在变量 left 中。
  2. 递归地在右子树中寻找 pq 的最低共同祖先,结果存储在变量 right 中。

然后,根据 leftright 的情况,可以得出以下结论:

  • 如果 leftright 都不为 null,说明 pq 分别位于当前节点的左右子树,因此当前节点就是它们的最低共同祖先,直接返回当前节点。
  • 如果只有 left 不为 null,说明 pq 都在左子树,最低共同祖先在左子树中,返回 left
  • 如果只有 right 不为 null,说明 pq 都在右子树,最低共同祖先在右子树中,返回 right

递归法的关键在于将大问题划分为规模较小的子问题,然后通过递归调用来解决子问题,最终得到整体的解决方案。在这里,递归调用的子问题是在左右子树中寻找 pq 的最低共同祖先。

递归法的优点在于其简洁性和直观性,但需要注意避免重复计算,以提高性能。

复杂度分析

  • 时间复杂度O(n),其中 n 是树中节点的总数,因为在最坏的情况下,需要检查每个节点来找到最近公共祖先。
  • 空间复杂度O(h),其中 h 是树的高度,空间复杂度主要由递归调用栈的深度决定。
    • 在平衡树中,递归深度为 O(h),其中 h 是树的高度。
    • 在最坏情况下(例如,树是完全不平衡的),递归的深度可以达到 O(n),其中 n 是树中节点的总数。

代码

/**
 * @param {TreeNode} root
 * @param {TreeNode} p
 * @param {TreeNode} q
 * @return {TreeNode}
 */
var lowestCommonAncestor = function (root, p, q) {
	if (!root || root == p || root == q) return root;

	let left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
	let right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);

	if (left && right) return root;
	return left ? left : right;
};

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