122. 买卖股票的最佳时机 II

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题目

You are given an integer array prices where prices[i] is the price of a given stock on the ith day.

On each day, you may decide to buy and/or sell the stock. You can only hold at most one share of the stock at any time. However, you can buy it then immediately sell it on the same day.

Find and return the maximum profit you can achieve.

Example 1:

Input: prices = [7,1,5,3,6,4]

Output: 7

Explanation: Buy on day 2 (price = 1) and sell on day 3 (price = 5), profit = 5-1 = 4.

Then buy on day 4 (price = 3) and sell on day 5 (price = 6), profit = 6-3 = 3.

Total profit is 4 + 3 = 7.

Example 2:

Input: prices = [1,2,3,4,5]

Output: 4

Explanation: Buy on day 1 (price = 1) and sell on day 5 (price = 5), profit = 5-1 = 4.

Total profit is 4.

Example 3:

Input: prices = [7,6,4,3,1]

Output: 0

Explanation: There is no way to make a positive profit, so we never buy the stock to achieve the maximum profit of 0.

Constraints:

• 1 <= prices.length <= 3 * 10^4
• 0 <= prices[i] <= 10^4

题目大意

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]

输出：7

解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。

随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。

总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]

输出：4

解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。

总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

解题思路

思路一：动态规划

1. 动态规划： 定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][0] 表示第 i 天不持有股票时的最大利润， dp[i][1] 表示第 i 天持有股票时的最大利润。

2. 状态转移方程：

   • dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])，表示在第 i 天，不持有股票的最大利润等于前一天不持有股票的最大利润，或者前一天持有股票的最大利润加上今天卖出的利润的最大值。
   • dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])，表示在第 i 天，持有股票的最大利润等于前一天持有股票的最大利润，或者前一天不持有股票的最大利润减去今天买入的利润的最大值。

3. 边界条件： 第一天（i == 0）时，dp[0][0] = 0，dp[0][1] = -prices[0]。

4. 初始化： 初始化利润为 0。

5. 返回最大利润： 最后返回 dp[n - 1][0]，即最后一天不持有股票的最大利润，因为若最后一天还持有股票没有卖出，收益肯定小于做了一次交易的情况。

• 时间复杂度: O(n)，其中 n 是股票价格数组的长度, 遍历了整个数组，
• 空间复杂度: O(n)，使用了一个 2 * n 的二维数组来存储中间状态。

---

思路二：动态规划-状态压缩

根据上面的代码可以发现，dp[i][...] 只与 dp[i - 1][0]、dp[i - 1][1] 有关。

因此不需要使用整个 dp 数组，只需用两个变量储存这两个状态就足够了，这样可以把空间复杂度降到 O(1)：

• max_profit 代表前一天不持有股票的最大利润，即 dp[i - 1][0]
• min_cost 代表前一天持有股票的最大利润，即 dp[i - 1][1]

1. 遍历数组： 从头到尾遍历股票价格数组。

2. 动态规划： 在遍历的过程中，根绝动态规划公式，记录当前位置的最大利润，并更新变量。

3. 返回最大利润： 遍历完成后，返回最大利润 max_profit。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)，其中 n 是股票价格数组的长度, 遍历了整个数组，
• 空间复杂度: O(1)，使用了常数个变量来存储中间状态。

代码

动态规划

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
	const n = prices.length;
	const dp = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(2).fill(0));
	for (let i in prices) {
		if (i == 0) {
			dp[0][0] = 0;
			dp[0][1] = -prices[0];
			continue;
		}
		dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
		dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
	}
	return dp[n - 1][0];
};

动态规划-状态压缩

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
	const n = prices.length;
	let max_profit = 0;
	let min_cost = -prices[0];
	for (let i = 1; i < n; i++) {
		let temp_0 = Math.max(max_profit, min_cost + prices[i]);
		let min_cost = Math.max(min_cost, max_profit - prices[i]);
		max_profit = temp_0;
	}
	return max_profit;
};

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