123. 买卖股票的最佳时机 III

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题目

You are given an array prices where prices[i] is the price of a given stock on the ith day.

Find the maximum profit you can achieve. You may complete at most two transactions.

Note: You may not engage in multiple transactions simultaneously (i.e., you must sell the stock before you buy again).

Example 1:

Input: prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

Output: 6

Explanation: Buy on day 4 (price = 0) and sell on day 6 (price = 3), profit = 3-0 = 3.

Then buy on day 7 (price = 1) and sell on day 8 (price = 4), profit = 4-1 = 3.

Example 2:

Input: prices = [1,2,3,4,5]

Output: 4

Explanation: Buy on day 1 (price = 1) and sell on day 5 (price = 5), profit = 5-1 = 4.

Note that you cannot buy on day 1, buy on day 2 and sell them later, as you are engaging multiple transactions at the same time. You must sell before buying again.

Example 3:

Input: prices = [7,6,4,3,1]

Output: 0

Explanation: In this case, no transaction is done, i.e. max profit = 0.

Constraints:

• 1 <= prices.length <= 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^5

题目大意

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

输出：6

解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]

输出：4

解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。

因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]

输出：0

解题思路

思路一：动态规划

1. 动态规划： 定义一个三维数组 dp，其中 dp[i][j][0] 表示截至第 i 天、最多进行 j 次交易、不持有股票时的最大利润， dp[i][j][1] 表示示截至第 i 天、最多进行 j 次交易、持有股票时的最大利润。

相关信息

状态 j 的定义并不是「已进行的交易次数」，而是「最大交易次数的上限限制」。如果确定今天进行一次交易，且要保证截至今天最大交易次数上限为 j，那么昨天的最大交易次数上限必须是 j - 1。

2. 状态转移方程：

   • dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1] + prices[i])，表示在第 i 天，不持有股票的最大利润等于前一天不持有股票的最大利润，或者前一天持有股票的最大利润加上今天卖出的利润的最大值。

   • dp[i][j][1] = max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0] - prices[i])，表示在第 i 天，持有股票的最大利润等于前一天持有股票的最大利润，或者前一天不持有股票的最大利润减去今天买入的利润的最大值，今天买入的话，前一天的交易次数上限要减一。

   • 由于 j 的取值范围较小，可以直接把 j = 1、2 的情况全部列举出来也可以：

     • dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i])
     • dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i])
     • dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
     • dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])

3. 边界条件： 第一天（i == 0）时，dp[0][j][0] = 0，dp[0][j][1] = -prices[0]。

4. 初始化： 初始化利润为 0。

5. 返回最大利润： 最后返回 dp[n - 1][2][0]，即最后一天不持有股票的最大利润，因为若最后一天还持有股票没有卖出，收益肯定小于做了一次交易的情况。

• 时间复杂度: O(n) - 遍历整个二维数组，其中 n 是股票价格数组的长度。
• 空间复杂度: O(n) - 使用了一个 2 * 3 * n 的三维数组来存储中间状态。

---

思路二：动态规划-状态压缩

1. 状态定义：由于 dp[i][...] 只与和 dp[i - 1][...] 有关，且 j 只有两种情况，所以可将 dp 数组简化为四个状态：

   • dp_i20：截至第 i 天、最多交易两次、不持有股票的最大收益;
   • dp_i21：截至第 i 天、最多交易两次、持有股票的最大收益;
   • dp_i10：截至第 i 天、最多交易一次、不持有股票的最大收益;
   • dp_i11：截至第 i 天、最多交易一次、持有股票的最大收益;

2. 状态转移方程：

   • dp_i20 = max(dp_i20, dp_i21 + prices[i])
   • dp_i21 = max(dp_i21, dp_i10 - prices[i])
   • dp_i10 = max(dp_i10, dp_i11 + prices[i])
   • dp_i11 = max(dp_i11, -prices[i])

3. 遍历天数：遍历每一天的股票价格，更新四个状态的值。

4. 返回结果：返回最终的 dp_i20 值，即最大的利润。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)，只需要遍历一次股票价格数组。
• 空间复杂度: O(1)，只使用了常数个额外的变量。

代码

动态规划

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
	const n = prices.length;
	const m = 2;
	const dp = new Array(n)
		.fill(0)
		.map(() => new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(2).fill(0)));
	for (let i in prices) {
		for (let j = m; j >= 1; j--) {
			if (i == 0) {
				dp[0][j][0] = 0;
				dp[0][j][1] = -prices[0];
				continue;
			}
			dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
			dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
		}
	}
	return dp[n - 1][m][0];
};

动态规划-状态压缩

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
	let dp_i20 = 0,
		dp_i21 = -Infinity,
		dp_i10 = 0,
		dp_i11 = -Infinity;
	for (let price of prices) {
		dp_i20 = Math.max(dp_i20, dp_i21 + price);
		dp_i21 = Math.max(dp_i21, dp_i10 - price);
		dp_i10 = Math.max(dp_i10, dp_i11 + price);
		dp_i11 = Math.max(dp_i11, -price);
	}
	return dp_i20;
};

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