121. 买卖股票的最佳时机

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题目

You are given an array prices where prices[i] is the price of a given stock on the ith day.

You want to maximize your profit by choosing a single day to buy one stock and choosing a different day in the future to sell that stock.

Return the maximum profit you can achieve from this transaction. If you cannot achieve any profit, return 0.

Example 1:

Input: prices = [7,1,5,3,6,4]

Output: 5

Explanation: Buy on day 2 (price = 1) and sell on day 5 (price = 6), profit = 6-1 = 5.

Note that buying on day 2 and selling on day 1 is not allowed because you must buy before you sell.

Example 2:

Input: prices = [7,6,4,3,1]

Output: 0

Explanation: In this case, no transactions are done and the max profit = 0.

Constraints:

• 1 <= prices.length <= 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^4

题目大意

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]

输出：5

解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。

注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]

输出：0

解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路

思路一：动态规划

1. **动态规划：**定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][0] 表示第 i 天不持有股票时的最大利润， dp[i][1] 表示第 i 天持有股票时的最大利润。

2. 状态转移方程：

   • dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])，表示在第 i 天，不持有股票的最大利润等于前一天不持有股票的最大利润，或者前一天持有股票的最大利润加上今天卖出的利润的最大值。
   • dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])，表示在第 i 天，持有股票的最大利润等于前一天持有股票的最大利润，或者前一天不持有股票的最大利润减去今天买入的利润的最大值。由于题目规定只能买入一次，所以前一天不持有股票的最大利润为 0。

3. **边界条件：**第一天（i == 0）时，dp[0][0] = 0，dp[0][1] = -prices[0]。

4. **初始化：**初始化利润为 0。

5. **返回最大利润：**最后返回 dp[n - 1][0]，即最后一天不持有股票的最大利润，因为若最后一天还持有股票没有卖出，收益肯定小于做了一次交易的情况。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)，其中 n 是股票价格数组的长度，遍历了整个数组。
• 空间复杂度: O(n)，使用了一个 2 * n 的二维数组来存储中间状态。

---

思路二：动态规划-状态压缩

根据上面的代码可以发现，dp[i][...] 只与 dp[i - 1][0]、dp[i - 1][1] 有关。

因此不需要使用整个 dp 数组，只需用两个变量储存这两个状态就足够了，这样可以把空间复杂度降到 O(1)：

• min_price 记录当前位置之前的最低股价
• max_profit 记录最大利润。

1. 遍历数组： 从头到尾遍历股票价格数组。

2. 维护最低价格： 在遍历的过程中，维护一个变量，记录当前位置之前的最低股价。

3. 更新最大利润： 对于每一天，计算当前股价与最低价格的差值，如果大于之前的最大利润，更新最大利润。

4. 返回最大利润： 遍历完成后，返回最大利润。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)，其中 n 是股票价格数组的长度，遍历了整个数组。
• 空间复杂度: O(1)，使用了常数个变量来存储中间状态。

代码

动态规划

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
	const n = prices.length;
	const dp = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(2).fill(0));
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		if (i == 0) {
			dp[0][0] = 0;
			dp[0][1] = -prices[0];
			continue;
		}
		dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
		dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
	}
	return dp[n - 1][0];
};

动态规划-状态压缩

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function (prices) {
	let min_price = prices[0];
	let max_profit = 0;
	for (let price of prices) {
		min_price = Math.min(min_price, price);
		max_profit = Math.max(max_profit, price - min_price);
	}
	return max_profit;
};

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