110. 平衡二叉树

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题目

Given a binary tree, determine if it is height-balanced.

Example 1:

Input: root = [3,9,20,null,null,15,7]

Output: true

Example 2:

Input: root = [1,2,2,3,3,null,null,4,4]

Output: false

Example 3:

Input: root = []

Output: true

Constraints:

• The number of nodes in the tree is in the range [0, 5000].
• -10^4 <= Node.val <= 10^4

题目大意

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。

解题思路

思路一：自上向下递归

通过递归的方式，对每个节点进行判断，确保它的左右子树高度差不超过 1，并逐层向下判断:

1. 对于每个节点，计算其左子树和右子树的高度差。
2. 如果某个节点的左右子树的高度差超过 1，则说明以该节点为根的子树不是平衡的，直接返回 false。
3. 如果该节点是平衡的，继续递归检查其左子树和右子树是否平衡。
4. 递归的终止条件是遍历到叶子节点，叶子节点是平衡的。
5. 如果整棵树的所有节点都满足平衡条件，返回 true。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，
  • getHeight 函数：每次调用 getHeight 会遍历树的节点以计算高度。在 isBalanced 函数中，对每个节点都调用了一次 getHeight。因此，对于一棵包含 n 个节点的树，getHeight 的时间复杂度是 O(n)。
  • isBalanced 函数：在最坏情况下，每个节点都会调用一次 getHeight，因此总的时间复杂度是 O(n^2)。
• 空间复杂度：O(n)，由于递归的深度等于树的高度，在最坏情况下（例如完全不平衡的树），树的高度可能是 n，因此空间复杂度为 O(n)。在平衡树的情况下，空间复杂度是 O(log n)。

---

思路二：自底向上递归

为了优化时间复杂度，可以使用自底向上的方法，在计算树的高度时同时检查树的平衡性，这样可以将时间复杂度降低到 O(n)。

1. 单次遍历：checkBalance 函数在检查每个节点的高度时，直接判断其是否平衡，避免了重复遍历。
2. 返回值：如果发现不平衡，返回 -1，否则返回树的高度。这种方式使得可以在发现不平衡时立即停止后续的检查。

复杂度分析

• 时间复杂度： O(n)，每个节点只遍历一次。
• 空间复杂度： O(h)，其中 h 是树的高度（递归调用栈的深度），在最坏情况下为 O(n)，在平衡树情况下为 O(log n)。

代码

自上向下递归

/**
 * @param {TreeNode} root
 * @return {boolean}
 */
var isBalanced = function (root) {
	if (!root) {
		return true; // 空树是平衡的
	}

	// 计算左右子树的高度差
	const diff = Math.abs(getHeight(node.left) - getHeight(node.right));

	// 检查当前节点是否平衡，以及其左右子树是否平衡
	return diff <= 1 && isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
};

// 计算树的高度
var getHeight = function (node) {
	if (!node) {
		return 0;
	}
	return 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
};

自底向上递归

/**
 * @param {TreeNode} root
 * @return {boolean}
 */
var isBalanced = function (root) {
	return checkBalance(root) !== -1;
};

// 检查平衡性和计算高度
var checkBalance = function (node) {
	if (!node) {
		return 0; // 空树高度为0
	}

	const leftHeight = checkBalance(node.left);
	if (leftHeight === -1) return -1; // 左子树不平衡

	const rightHeight = checkBalance(node.right);
	if (rightHeight === -1) return -1; // 右子树不平衡

	// 检查当前节点的平衡性
	if (Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1) {
		return -1; // 不平衡
	}

	// 返回当前树的高度
	return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
};

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