63. 股票的最大利润

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题目

数组 prices 记录了某芯片近期的交易价格，其中 prices[i] 表示的 i 天该芯片的价格。你只能选择 某一天 买入芯片，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该芯片。请设计一个算法计算并返回你从这笔交易中能获取的最大利润。

如果你不能获取任何利润，返回 0。

示例 1：

输入：prices = [3, 6, 2, 9, 8, 5]

输出：7

解释：在第 3 天（芯片价格 = 2）买入，在第 4 天（芯片价格 = 9）卖出，最大利润 = 9 - 2 = 7。

示例 2：

输入：prices = [8, 12, 15, 7, 3, 10]

输出：7

解释：在第 5 天（芯片价格 = 3）买入，在第 6 天（芯片价格 = 10）卖出，最大利润 = 10 - 3 = 7。

提示：

• 0 <= prices.length <= 10^5
• 0 <= prices[i] <= 10^4

注意

本题与 LeetCode 第 121 题 相同。

解题思路

思路一：动态规划

1. **动态规划：**定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][0] 表示第 i 天不持有股票时的最大利润， dp[i][1] 表示第 i 天持有股票时的最大利润。

2. 状态转移方程：

   • dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])，表示在第 i 天，不持有股票的最大利润等于前一天不持有股票的最大利润，或者前一天持有股票的最大利润加上今天卖出的利润的最大值。
   • dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])，表示在第 i 天，持有股票的最大利润等于前一天持有股票的最大利润，或者前一天不持有股票的最大利润减去今天买入的利润的最大值。由于题目规定只能买入一次，所以前一天不持有股票的最大利润为 0。

3. **边界条件：**第一天（i == 0）时，dp[0][0] = 0，dp[0][1] = -prices[0]。

4. **初始化：**初始化利润为 0。

5. **返回最大利润：**最后返回 dp[n - 1][0]，即最后一天不持有股票的最大利润，因为若最后一天还持有股票没有卖出，收益肯定小于做了一次交易的情况。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)，遍历整个二维数组，其中 n 是股票价格数组的长度。
• 空间复杂度: O(n)，使用了一个 2 * n 的二维数组来存储中间状态。

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思路二：动态规划-状态压缩

根据上面的代码可以发现，dp[i][...] 只与 dp[i - 1][0]、dp[i - 1][1] 有关。

因此不需要使用整个 dp 数组，只需用两个变量储存这两个状态就足够了，这样可以把空间复杂度降到 O(1)：

• min_price 记录当前位置之前的最低股价
• max_profit 记录最大利润。

1. 遍历数组： 从头到尾遍历股票价格数组。

2. 维护最低价格： 在遍历的过程中，维护一个变量，记录当前位置之前的最低股价。

3. 更新最大利润： 对于每一天，计算当前股价与最低价格的差值，如果大于之前的最大利润，更新最大利润。

4. 返回最大利润： 遍历完成后，返回最大利润。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n) - 遍历整个二维数组，其中 n 是股票价格数组的长度。
• 空间复杂度: O(1) - 使用了常数个变量来存储中间状态。

代码

动态规划

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var bestTiming = function (prices) {
	const n = prices.length;
	const dp = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(2).fill(0));
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		if (i == 0) {
			dp[0][0] = 0;
			dp[0][1] = -prices[0];
			continue;
		}
		dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
		dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
	}
	return dp[n - 1][0];
};

动态规划-状态压缩

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var bestTiming = function (prices) {
	let min_price = prices[0];
	let max_profit = 0;
	for (let price of prices) {
		min_price = Math.min(min_price, price);
		max_profit = Math.max(max_profit, price - min_price);
	}
	return max_profit;
};