55-II. 平衡二叉树
55-II. 平衡二叉树
题目
输入一棵二叉树的根节点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过 1，那么它就是一棵平衡二叉树。
示例 1:
输入： root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出： true
解释： 如下图
示例 2:
输入：root = [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
输出：false
解释：如下图
提示：
0 <= 树的结点个数 <= 10000
注意
本题与 LeetCode 第 110 题 相同。
解题思路
思路一：自上向下递归
通过递归的方式，对每个节点进行判断，确保它的左右子树高度差不超过 1，并逐层向下判断:
- 对于每个节点，计算其左子树和右子树的高度差。
- 如果某个节点的左右子树的高度差超过 1，则说明以该节点为根的子树不是平衡的，直接返回
false。 - 如果该节点是平衡的，继续递归检查其左子树和右子树是否平衡。
- 递归的终止条件是遍历到叶子节点，叶子节点是平衡的。
- 如果整棵树的所有节点都满足平衡条件，返回
true。
复杂度分析
- 时间复杂度：
O(n^2)，getHeight函数：每次调用getHeight会遍历树的节点以计算高度。在isBalanced函数中，对每个节点都调用了一次getHeight。因此，对于一棵包含n个节点的树，getHeight的时间复杂度是O(n)。isBalanced函数：在最坏情况下，每个节点都会调用一次getHeight，因此总的时间复杂度是O(n^2)。
- 空间复杂度：
O(n)，由于递归的深度等于树的高度，在最坏情况下（例如完全不平衡的树），树的高度可能是n，因此空间复杂度为O(n)。在平衡树的情况下，空间复杂度是O(log n)。
思路二：自底向上递归
为了优化时间复杂度，可以使用自底向上的方法，在计算树的高度时同时检查树的平衡性，这样可以将时间复杂度降低到 O(n)。
- 单次遍历：
checkBalance函数在检查每个节点的高度时，直接判断其是否平衡，避免了重复遍历。 - 返回值：如果发现不平衡，返回
-1，否则返回树的高度。这种方式使得可以在发现不平衡时立即停止后续的检查。
复杂度分析
- 时间复杂度：
O(n)，每个节点只遍历一次。 - 空间复杂度：
O(h)，其中h是树的高度（递归调用栈的深度），在最坏情况下为O(n)，在平衡树情况下为O(log n)。
代码
自上向下递归
/**
* @param {TreeNode} root
* @return {boolean}
*/
var isBalanced = function (root) {
if (!root) {
return true; // 空树是平衡的
}
// 计算左右子树的高度差
const diff = Math.abs(getHeight(node.left) - getHeight(node.right));
// 检查当前节点是否平衡，以及其左右子树是否平衡
return diff <= 1 && isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
};
// 计算树的高度
var getHeight = function (node) {
if (!node) {
return 0;
}
return 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
};
自底向上递归
/**
* @param {TreeNode} root
* @return {boolean}
*/
var isBalanced = function (root) {
return checkBalance(root) !== -1;
};
// 检查平衡性和计算高度
var checkBalance = function (node) {
if (!node) {
return 0; // 空树高度为0
}
const leftHeight = checkBalance(node.left);
if (leftHeight === -1) return -1; // 左子树不平衡
const rightHeight = checkBalance(node.right);
if (rightHeight === -1) return -1; // 右子树不平衡
// 检查当前节点的平衡性
if (Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1) {
return -1; // 不平衡
}
// 返回当前树的高度
return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
};