10. 斐波那契数列

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题目

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

答案需要取模 1e9+7(1000000007) ，如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2

输出：1

解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3

输出：2

解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4

输出：3

解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

0 <= n <= 100

注意

本题与 LeetCode 第 509 题 相同。

解题思路

这一题解法很多，大的分类是四种：

• 递归
• 记忆化搜索(dp)
• 矩阵快速幂
• 通项公式

其中记忆化搜索可以写 3 种方法：

• 自底向上的
• 自顶向下的
• 优化空间复杂度版的

代码

暴力递归法

// 解法一 暴力递归法 时间复杂度 O(2^n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
	if (n <= 1) {
		return n;
	}
	return (fib(n - 1) + fib(n - 2)) % 1000000007;
};

自底向上的记忆化搜索

// 解法二 自底向上的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
	if (n <= 1) {
		return n;
	}
	const arr = [0, 1];
	for (let i = 2; i <= n; i++) {
		arr[i] = (arr[i - 1] + arr[i - 2]) % 1000000007;
	}
	return arr[n];
};

自顶向下的记忆化搜索

// 解法三 自顶向下的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
	let map = new Map();
	const helper = (n) => {
		if (n < 2) return n;
		if (!map.has(n)) {
			map.set(n, (helper(n - 1) + helper(n - 2)) % 1000000007);
		}
		return map.get(n);
	};
	return helper(n);
};

滚动数组优化版的 dp

// 解法四 滚动数组优化版的 dp，节约内存空间 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
var fib = function (n) {
	if (n <= 1) return n;
	let result = 0;
	let prev1 = 0;
	let prev2 = 1;
	for (let i = 2; i <= n; i++) {
		result = (prev1 + prev2) % 1000000007;
		prev1 = prev2;
		prev2 = result;
	}
	return result;
};