100. 三角形中最小路径之和

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题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入： triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]

输出： 11

解释： 如下面简图所示：

2

3 4

6 5 7

4 1 8 3

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入： triangle = [[-10]]

输出： -10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

注意

本题与 LeetCode 第 120 题 相同。

解题思路

求出从三角形顶端到底端的最小和。要求最好用 O(n) 的空间复杂度。

思路一：倒序 DP

• 从下往上找出最小路径和，存入二维数组 DP。
• dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + input[i][j]

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n^2)，遍历整个二维数组，其中 n 是三角形的高度。
• 空间复杂度: O(n^2)，使用了一个大小为 n^2 的二维数组来存储中间状态。

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思路二：倒序 DP+压缩状态

• 压缩状态
• 从下往上找出最小路径和，存入一维数组 DP。
• dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + inputArr[i][j]

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n^2)，遍历整个二维数组，其中 n 是三角形的高度。
• 空间复杂度: O(n)，使用了一个长度为 n 的一维数组来存储中间状态。

代码

倒序 DP

const minSum = (inputArr) => {
	// 初始化dp数组
	const h = inputArr.length;
	let dp = new Array(h);
	for (let i = 0; i < h; i++) {
		dp[i] = new Array(inputArr[i].length);
	}
	// 自底向上
	for (let i = h - 1; i >= 0; i--) {
		for (let j = 0; j < inputArr[i].length; j++) {
			if (i === h - 1) {
				// 最底层就是它自己
				dp[i][j] = inputArr[i][j];
			} else {
				// 其余点的dp值 = 对应输入数组的值 + 下一层相邻两个点的dp值中最小的
				dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + inputArr[i][j];
			}
		}
	}
	return dp[0][0];
};

倒序 DP + 压缩状态

const minSum2 = (inputArr) => {
	const h = inputArr.length;
	// 初始化dp数组为输入最底层的值
	let dp = inputArr[h - 1];
	// 从第二层开始循环
	for (let i = h - 2; i >= 0; i--) {
		for (let j = 0; j < inputArr[i].length; j++) {
			dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + inputArr[i][j];
		}
	}
	return dp[0];
};