98. 路径的数目

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题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入： m = 3, n = 7

输出： 28

示例 2：

输入： m = 3, n = 2

输出： 3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下

2. 向下 -> 向下 -> 向右

3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入： m = 7, n = 3

输出： 28

示例 4：

输入： m = 3, n = 3

输出： 6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

注意

本题与 LeetCode 第 62 题 相同。

解题思路

可以使用动态规划来解决问题，机器人到达每个格子的路径数如下所示:

❤️	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7
1	3	6	10	15	21	28

1. 动态规划：定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从 (0, 0) 到 (i, j) 的不同路径数目。

2. 状态转移方程：从 (0, 0) 到 (i, j) 的路径有两条：从 (i-1, j) 向下移动和从 (i, j-1) 向右移动，到达 (i, j) 的路径数就是上方格子 (i-1, j) 和左边格子 (i, j-1) 的路径数之和。状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

3. 边界条件：对于第一行和第一列，由于它们只能从上方或左侧移动到达，所以路径数目都是 1。

4. 初始化：初始化第一行和第一列的路径数目。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(m * n)，遍历整个二维数组。
• 空间复杂度: O(m * n)，使用了一个二维数组来存储中间状态。可以优化为 O(n)，只需使用一维数组来存储当前行的状态。

代码

动态规划

// 时间复杂度 O(m * n)，空间复杂度 O(m * n)
/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
	const dp = new Array(m).fill(1).map(() => new Array(n).fill(1));
	for (let i = 1; i < m; i++) {
		for (let j = 1; j < n; j++) {
			dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
		}
	}
	return dp[m - 1][n - 1];
};

动态规划-状态压缩

// 时间复杂度 O(m * n)，空间复杂度优化后为 O(n)
/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
	const dp = new Array(n).fill(1);
	for (let i = 1; i < m; i++) {
		for (let j = 1; j < n; j++) {
			dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
		}
	}
	return dp[n - 1];
};