1492. n 的第 k 个因子

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题目

You are given two positive integers n and k. A factor of an integer n is defined as an integer i where n % i == 0.

Consider a list of all factors of n sorted in ascending order , return thekth factor in this list or return -1 if n has less than k factors.

Example 1:

Input: n = 12, k = 3

Output: 3

Explanation: Factors list is [1, 2, 3, 4, 6, 12], the 3rd factor is 3.

Example 2:

Input: n = 7, k = 2

Output: 7

Explanation: Factors list is [1, 7], the 2nd factor is 7.

Example 3:

Input: n = 4, k = 4

Output: -1

Explanation: Factors list is [1, 2, 4], there is only 3 factors. We should return -1.

Constraints:

• 1 <= k <= n <= 1000

Follow up:

Could you solve this problem in less than O(n) complexity?

题目大意

给你两个正整数 n 和 k 。

如果正整数 i 满足 n % i == 0 ，那么我们就说正整数 i 是整数 n 的因子。

考虑整数 n 的所有因子，将它们 升序排列 。请你返回第 k 个因子。如果 n 的因子数少于 k ，请你返回 -1 。

示例 1：

输入： n = 12, k = 3

输出： 3

解释： 因子列表包括 [1, 2, 3, 4, 6, 12]，第 3 个因子是 3 。

示例 2：

输入： n = 7, k = 2

输出： 7

解释： 因子列表包括 [1, 7] ，第 2 个因子是 7 。

示例 3：

输入： n = 4, k = 4

输出： -1

解释： 因子列表包括 [1, 2, 4] ，只有 3 个因子，所以我们应该返回 -1 。

提示：

• 1 <= k <= n <= 1000

进阶：

你可以设计时间复杂度小于 O(n) 的算法来解决此问题吗？

解题思路

思路一：暴力枚举因子

• 遍历从 1 到 n 的所有整数，检查哪些数可以整除 n。
• 每找到一个因子，将计数器加一。
• 如果计数器达到 k，返回当前因子。
• 如果遍历结束后还未找到第 k 个因子，返回 -1。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，需要遍历从 1 到 n 的所有整数。适用于小规模的输入，计算简单，但效率较低。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数空间。

---

思路二：优化的因子枚举

• 利用因子的对称性，如果 i 是 n 的因子，那么 n / i 也是。
• 我们只需要遍历 1 到 sqrt(n) 的整数，并记录对应的对称因子，通过双重循环，检查前 k 个因子即可。
• 如果平方根对应的因子出现两次（如 16 的因子 4），跳过重复因子。
• 减少遍历范围为 1 到 sqrt(n)，有效降低了时间复杂度。
• 分两阶段遍历分别处理小因子和大因子，避免排序。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(sqrt(n))，第一阶段遍历小因子，第二阶段遍历对称因子。
• 空间复杂度：O(1)，不使用额外存储，仅记录计数。

代码

暴力枚举因子

/**
 * @param {number} n
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var kthFactor = function (n, k) {
	let count = 0;
	for (let i = 1; i <= n; i++) {
		// 从 1 遍历到 n
		if (n % i == 0) {
			// 检查是否是因子
			count++;
			if (count == k) {
				// 找到第 k 个因子
				return i;
			}
		}
	}
	return -1; // 未找到第 k 个因子
};

优化的因子枚举

/**
 * @param {number} n
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var kthFactor = function (n, k) {
	const num = Math.floor(Math.sqrt(n)); // 计算 n 的平方根
	for (let i = 1; i <= num; i++) {
		if (n % i == 0 && --k == 0) {
			// 小因子阶段
			return i;
		}
	}
	for (let i = num; i > 0; --i) {
		// 对称因子阶段
		if (i * i == n) {
			// 跳过重复因子
			continue;
		}
		if (n % i == 0 && --k == 0) {
			return n / i; // 返回对应的对称因子
		}
	}
	return -1; // 未找到第 k 个因子
};