509. Fibonacci Number
509. Fibonacci Number
🟢 🔖 递归 记忆化搜索 数学 动态规划 🔗 LeetCode
题目
The Fibonacci numbers , commonly denoted F(n) form a sequence, called the Fibonacci sequence , such that each number is the sum of the two preceding ones, starting from 0 and 1. That is,
F(0) = 0, F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2), for n > 1.
Given n, calculate F(n).
Example 1:
Input: n = 2
Output: 1
Explanation: F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
Example 2:
Input: n = 3
Output: 2
Explanation: F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.
Example 3:
Input: n = 4
Output: 3
Explanation: F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.
Constraints:
0 <= n <= 30
题目大意
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
给定 N，计算 F(N)。
提示：0 ≤ N ≤ 30
解题思路
这一题解法很多，大的分类是四种：
- 递归
- 记忆化搜索(dp)
- 矩阵快速幂
- 通项公式
其中记忆化搜索可以写 3 种方法：
- 自底向上的
- 自顶向下的
- 优化空间复杂度版的
代码
暴力递归法
// 解法一 暴力递归法 时间复杂度 O(2^n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
if (n <= 1) {
return n;
}
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
};
自底向上的记忆化搜索
// 解法二 自底向上的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
if (n <= 1) {
return n;
}
const arr = [0, 1];
for (let i = 2; i <= n; i++) {
arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
}
return arr[n];
};
自顶向下的记忆化搜索
// 解法三 自顶向下的记忆化搜索 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)
var fib = function (n) {
let map = new Map();
const helper = (n) => {
if (n < 2) return n;
if (!map.has(n)) {
map.set(n, helper(n - 1) + helper(n - 2));
}
return map.get(n);
};
return helper(n);
};
滚动数组优化版的 dp
// 解法四 滚动数组优化版的 dp，节约内存空间 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
var fib = function (n) {
if (n <= 1) return n;
let result = 0;
let prev1 = 0;
let prev2 = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
result = prev1 + prev2;
prev1 = prev2;
prev2 = result;
}
return result;
};
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