62. Unique Paths

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题目

There is a robot on an m x n grid. The robot is initially located at the top-left corner (i.e., grid[0][0]). The robot tries to move to the bottom-right corner (i.e., grid[m - 1][n - 1]). The robot can only move either down or right at any point in time.

Given the two integers m and n, return the number of possible unique paths that the robot can take to reach the bottom-right corner.

The test cases are generated so that the answer will be less than or equal to 2 * 10^9.

Example 1:

Input: m = 3, n = 7
Output: 28

Example 2:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation: From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
Right -> Down -> Down
Down -> Down -> Right
Down -> Right -> Down

Constraints:

1 <= m, n <= 100

题目大意

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？

解题思路

可以使用动态规划来解决问题，机器人到达每个格子的路径数如下所示:

❤️	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7
1	3	6	10	15	21	28

动态规划：定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从 (0, 0) 到 (i, j) 的不同路径数目。
状态转移方程：从 (0, 0) 到 (i, j) 的路径有两条：从 (i-1, j) 向下移动和从 (i, j-1) 向右移动，到达 (i, j) 的路径数就是上方格子 (i-1, j) 和左边格子 (i, j-1) 的路径数之和。状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
边界条件：对于第一行和第一列，由于它们只能从上方或左侧移动到达，所以路径数目都是 1。
初始化：初始化第一行和第一列的路径数目。

时间复杂度: O(m * n) - 遍历整个二维数组。
空间复杂度: O(m * n) - 使用了一个二维数组来存储中间状态。可以优化为 O(n)，只需使用一维数组来存储当前行的状态。

代码

动态规划

// 时间复杂度 O(m * n)，空间复杂度 O(m * n)
/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
	const dp = new Array(m).fill(1).map(() => new Array(n).fill(1));
	for (let i = 1; i < m; i++) {
		for (let j = 1; j < n; j++) {
			dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
		}
	}
	return dp[m - 1][n - 1];
};

动态规划-状态压缩

// 时间复杂度 O(m * n)，空间复杂度优化后为 O(n)
/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function (m, n) {
	const dp = new Array(n).fill(1);
	for (let i = 1; i < m; i++) {
		for (let j = 1; j < n; j++) {
			dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
		}
	}
	return dp[n - 1];
};

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